问： 用Fourier变换证明
\[\int_0^{+\infty} \frac{\sin\alpha\cos(\alpha x)}{\alpha} d\alpha
=\begin{cases}
\frac{\pi}2, & |x|<1 \\
\frac{\pi}4, & |x|=1 \\
0, & |x|>1
\end{cases}\]
解：
取$f(x)=\begin{cases} 1, & |x|<1 \\ 0 , & |x|>1 \end{cases}$，
对它做Fourier变换。
注意到$f(x)$是一个偶函数，因而$B(\lambda)=0$，有 $$ \begin{aligned} F(\lambda) =& 2 \int_{0}^{+\infty} f(t)\cos(\lambda t)dt =2 \int_{0}^{1} \cos(\lambda t) dt = \frac{2\sin\lambda}{\lambda} \end{aligned} $$ 应用反变换公式，得到 $$ \frac1\pi \int_0^{+\infty} F(\lambda) \cos(\lambda x)d\lambda =\frac2\pi \int_0^{+\infty} \frac{\sin\lambda\sin(\lambda x)}{\lambda}d\lambda =\begin{cases} f(x), & |x|\neq 1 \\ \frac12, & |x|=1 \end{cases} $$ 即证。
特别地，取$x=0$，可以得到Dirichlet积分 $$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}2 $$
注意到$f(x)$是一个偶函数，因而$B(\lambda)=0$，有 $$ \begin{aligned} F(\lambda) =& 2 \int_{0}^{+\infty} f(t)\cos(\lambda t)dt =2 \int_{0}^{1} \cos(\lambda t) dt = \frac{2\sin\lambda}{\lambda} \end{aligned} $$ 应用反变换公式，得到 $$ \frac1\pi \int_0^{+\infty} F(\lambda) \cos(\lambda x)d\lambda =\frac2\pi \int_0^{+\infty} \frac{\sin\lambda\sin(\lambda x)}{\lambda}d\lambda =\begin{cases} f(x), & |x|\neq 1 \\ \frac12, & |x|=1 \end{cases} $$ 即证。
特别地，取$x=0$，可以得到Dirichlet积分 $$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}2 $$