问： 用Fourier积分表示 $\displaystyle f(x)=\frac1{a^2+x^2}, a>0$
解：
$f(x)$是全实数轴上的连续函数，且满足收敛条件，
因此，它的Fourier积分在每点处都收敛于自身。
注意到$f(x)$是一个偶函数，因而$B(\lambda)=0$，有 $$ \begin{aligned} A(\lambda) =& \frac1\pi \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\cos(\lambda t)dt =\frac1\pi \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(\lambda t)}{a^2+t^2} dt \\ =& \frac1a e^{-a\lambda} \end{aligned} $$ 因此， $$ f(x)=\int_0^{+\infty}A(\lambda)\cos(\lambda x)d\lambda $$ 即有 $$ \frac1{a^2+x^2}=\int_0^{+\infty} e^{-a\lambda}\cos(\lambda x)d\lambda $$
注意到$f(x)$是一个偶函数，因而$B(\lambda)=0$，有 $$ \begin{aligned} A(\lambda) =& \frac1\pi \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\cos(\lambda t)dt =\frac1\pi \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(\lambda t)}{a^2+t^2} dt \\ =& \frac1a e^{-a\lambda} \end{aligned} $$ 因此， $$ f(x)=\int_0^{+\infty}A(\lambda)\cos(\lambda x)d\lambda $$ 即有 $$ \frac1{a^2+x^2}=\int_0^{+\infty} e^{-a\lambda}\cos(\lambda x)d\lambda $$