解： 注意到 $$ P'_x=\frac1{(x^2+y^2+z^2)^3}\left((x^2+y^2+z^2)^{\frac32}-x\frac32(x^2+y^2+z^2)^{\frac12}2x\right) =\frac{y^2+z^2-2x^2}{(x^2+y^2+z^2)^3} $$ 因而， $$ P'_x+Q'_y+R'_z=0 $$ 注意到$P$,$Q$, $R$在$(0,0,0)$处不连续，因而Gauss公式的区域中不能包含$(0,0,0)$。 取$S_2: x^2+y^2+z^2=\epsilon^2$外侧为正，则 $$ \begin{aligned} \iint_{S_2} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =&\iint_{S_2}\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{\epsilon^3} \\ =&\frac1{\epsilon^3}\iiint_{V_2} 3 dV =4\pi \end{aligned} $$ 取$S_1: z=2, x^2+y^2\leq 4\times\frac89$上侧为正。 在曲面$S+S_1-S_2$中使用Gauss公式，有 $$ \iint_{S+S_1-S_2} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = 0 $$ 从而 $$ \begin{aligned} \iint_{S} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =&-\iint_{S_1} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \\ &+\iint_{S_2} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \end{aligned} $$ 而，记$D=\{x^2+y^2\leq \frac{32}9\}$，则 $$ \begin{aligned} \iint_{S_1} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =&\iint_D \frac{2}{(x^2+y^2+2^2)^{\frac32}} dxdy \\ =& \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{4\sqrt2}3} \frac{2}{(r^2+4)^{\frac32}} r dr \\ =&2\pi \int_0^{\frac{4\sqrt 2}3}\frac1{(r^2+4)^{\frac32}} d (r^2) \\ =&2\pi (-2)\frac1{\sqrt{t+4}}\big|_{t=0}^{t=\frac{32}9} =4\pi\left(\frac12-\frac1{2\sqrt{17}}\right) \end{aligned} $$ 因此，积分值为 $$ 4\pi\left(1-\frac12+\frac{3}{2\sqrt{17}}\right) =2\pi\left(1+\frac{3}{\sqrt{17}}\right) $$